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문제

여행을 떠난 세준이는 지도를 하나 구하였다. 이 지도는 아래 그림과 같이 직사각형 모양이며 여러 칸으로 나뉘어져 있다. 한 칸은 한 지점을 나타내는데 각 칸에는 그 지점의 높이가 쓰여 있으며, 각 지점 사이의 이동은 지도에서 상하좌우 이웃한 곳끼리만 가능하다.

image

현재 제일 왼쪽 위 칸이 나타내는 지점에 있는 세준이는 제일 오른쪽 아래 칸이 나타내는 지점으로 가려고 한다. 그런데 가능한 힘을 적게 들이고 싶어 항상 높이가 더 낮은 지점으로만 이동하여 목표 지점까지 가고자 한다. 위와 같은 지도에서는 다음과 같은 세 가지 경로가 가능하다.

image image image

지도가 주어질 때 이와 같이 제일 왼쪽 위 지점에서 출발하여 제일 오른쪽 아래 지점까지 항상 내리막길로만 이동하는 경로의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에는 지도의 세로의 크기 M과 가로의 크기 N이 빈칸을 사이에 두고 주어진다. 이어 다음 M개 줄에 걸쳐 한 줄에 N개씩 위에서부터 차례로 각 지점의 높이가 빈 칸을 사이에 두고 주어진다. M과 N은 각각 500이하의 자연수이고, 각 지점의 높이는 10000이하의 자연수이다.

출력

첫째 줄에 이동 가능한 경로의 수 H를 출력한다. 모든 입력에 대하여 H는 10억 이하의 음이 아닌 정수이다.

풀이

처음에 완전 탐색인줄 알고 DFS로 풀어봤더니 시간초과가 떴습니다. 그래서 다른 방법을 생각해 보니
현재 지점에서의 경우의 수는 다음 지점에서의 경우의 수의 합이 나오므로, 다이나믹 프로그래밍적 관점으로 생각해보았습니다.
그리고 그 지점에서 가는 길이 도착 지점까지 갈 수 있는지 먼저 알아야 하기 때문에 BFS대신 DFS를 사용하였습니다.
예를 들어서 첫번째 함수 실행은

dfs(0,0) = dfs(0,1) + dfs(1,0)

이 됩니다.
피보나치 수열을 역순으로 구하는 모습과 유사한 느낌이듭니다.
여기서 위와 같이 결국 사방탐색으로 쭉 갈수 있는 곳 까지 가는데, 도착지로 올 경우에 1을 추가해주고, 도착하지 못했다면 0을 반환합니다.
다음지점으로 넘어가는 조건은 내리막길(값이 작은 지점만)로만 가야 하기 때문에 경로 순환은 예방됩니다.

소스코드

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {
    static int N;
    static int M;
    static final int[] dr = {0, 1, 0, -1};
    static final int[] dc = {1, 0, -1, 0};
    static int[][] Mat;
    static int[][] dp;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        M = Integer.parseInt(st.nextToken());
        Mat = new int[N][M];
        dp = new int[N][M];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            st = new StringTokenizer(br.readLine());
            for (int j = 0; j < M; j++) {
                Mat[i][j] = Integer.parseInt(st.nextToken());
                dp[i][j] = -1;
            }
        }
        System.out.println(dfs(0,0));
    }

    private static int dfs(int row, int col) {
        if (row == N - 1 && col == M - 1) return 1; //        도착지 도달
        if (row < 0 || row > N || col < 0 || col > M) return 0;     // 도착 실패
        if (dp[row][col] != -1) return dp[row][col];            // 방문했을 시 그대로 사용

        dp[row][col] = 0;               // 방문 처리
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int nr = row + dr[i];
            int nc = col + dc[i];
            if (nr >= 0 && nr < N && nc >= 0 && nc < M && Mat[row][col] > Mat[nr][nc]) {
                dp[row][col] += dfs(nr, nc);
            }
        }
        return dp[row][col];
    }
}

알고리즘 분류

  • 다이나믹 프로그래밍
  • 그래프 이론
  • 그래프 탐색
  • 깊이 우선 탐색

참고